Xadrez no ensino do plano cartesiano

Publicado em 14 de janeiro de 2022

Conteúdos

Objetivos

1ª EtapaIntrodução

2ª EtapaMovimentando a torre no tabuleiro de xadrez

3ª EtapaPlano cartesiano

4ª EtapaQuadrantes do plano cartesiano

Materiais Relacionados

Conteúdos

Este plano de aula de matemática faz uma breve apresentação do jogo de xadrez, com o intuito de utilizá-lo como um instrumento paradidático para o ensino de um conteúdo matemático específico: o plano cartesiano. Objetiva-se fazer uma analogia entre a forma de localizar peças nas casas do tabuleiro de xadrez (sistema de notação algébrica) com a localização de pontos no plano cartesiano, ou seja, visando a determinação do par ordenado de um ponto específico. O material conta com algumas sugestões de textos e vídeos (em “materiais relacionados”) para que o/a professor/a possa buscar um maior aprofundamento sobre o assunto.

● Introdução;
● Movimentando a torre sobre o tabuleiro de xadrez;
● Plano cartesiano; e
● Quadrantes do plano cartesiano.

Objetivos

● Conhecer, de forma introdutória, o jogo de xadrez;
● Aprender o que é o plano cartesiano; e
● Aprender, a partir de uma analogia com o tabuleiro de xadrez, a identificar as coordenadas de pontos no plano cartesiano.

Ensine também:

A matemática dos bits e dos bytes: sistemas decimal e binário

Matemática financeira: juros compostos

Palavras-chave:

Plano Cartesiano. Coordenadas cartesianas. Abscissas. Ordenadas. Quadrantes. Tabuleiro de xadrez.

Previsão para aplicação:

4 aulas (50 min/aula).

1ª Etapa: Introdução

O xadrez é um dos jogos de tabuleiro mais conhecido em todo o mundo. Estima-se que mais 600 milhões de pessoas pratiquem o enxadrismo, de forma que o xadrez é considerado o segundo esporte mais praticado em todo o planeta, ficando atrás apenas do futebol.
Prática que já foi conhecida como o “esporte dos reis”, atualmente o xadrez é considerado por muitos(as) estudiosos(as) como um misto de esporte, arte e ciência.

A prática do jogo de xadrez pode ser feita de forma apenas amadora (como lazer, entretenimento, e para o desenvolvimento de algumas habilidades), mas o esporte também pode ser praticado de forma profissional, posto que existem diversos campeonatos nacionais e internacionais, campeonato mundial, olimpíadas, e diversos outros tipos de eventos oficiais em prol da prática enxadrística.

Sabe-se que a prática do xadrez pode desenvolver em seus(suas) praticantes algumas habilidades, tais como: o cálculo espacial; a concentração; o raciocínio lógico; a tomada de decisões; dentre outras. No entanto, diversos estudos vêm sendo desenvolvidos a respeito da possibilidade de se utilizar o xadrez como um instrumento paradidático para o ensino de Matemática. O próprio ex-campeão mundial, Garry Kasparov, nascido em 1963, considerado um dos maiores (se não o maior) enxadrista de todos os tempos, é um grande entusiasta para a inserção do xadrez no ambiente escolar.

Este plano de aula pretende caminhar justamente nessa direção, ou seja, utilizar-se do xadrez como um instrumento paradidático para o ensino do plano cartesiano.

2ª Etapa: Movimentando a torre no tabuleiro de xadrez

O xadrez consiste num jogo de tabuleiro com 64 casas (quadrados) de cores alternadas, disputado (no jogo clássico) entre dois/duas oponentes (enxadristas). Cada oponente possui, no início do jogo, 16 peças de uma determinada cor. Geralmente as cores são: 16 peças de cor branca para um(a) oponente, e 16 peças de cor preta para o/a outro (a) oponente, sendo que a cor das peças de cada oponente é definida por meio de um sorteio, ou de um acordo. Após a finalização de uma partida, usualmente, inverte-se o tabuleiro, de forma que o/a enxadrista que jogou a primeira partida com as peças pretas jogará a segunda partida com as peças brancas, e vice-versa.

Por uma questão de convenção histórica, o/a oponente que está com as peças brancas faz o primeiro lance, iniciando o jogo.
As 16 peças não são todas iguais. No xadrez clássico, existem 6 tipos de peças, cada uma delas possuindo um determinado valor e uma maneira específica de se movimentar sobre o tabuleiro.

No início do jogo, cada enxadrista possui a seguinte quantidade de peças, com seus respectivos valores:

● 1 Rei – valor -> “infinito”;
● 1 Dama – valor -> 9 pontos;
● 2 Bispos – valor -> 3 pontos, cada peça;
● 2 Cavalos – valor -> 3 pontos, cada peça;
● 2 Torres – valor -> 5 pontos, cada peça; e
● 8 Peões – valor -> 1 ponto, cada peça.

Portanto, temos 16 peças para cada enxadrista, sendo o xadrez um jogo com 32 peças, que se movimentam (cada tipo de peça se movimenta de forma específica) sobre um tabuleiro com 64 casas. Inicialmente, cada peça tem uma casa específica para ocupar no tabuleiro (“configuração inicial”).

O principal objetivo do xadrez é “capturar” o Rei do(a) seu(sua) oponente. Quando tal objetivo é alcançado, fala-se o famoso: xeque-mate! Finaliza-se, assim, a partida.

Configuração de um xeque-mate:

xeque-mate no xadrez — Xeque-mate no xadrez (crédito: reprodução/ Chess)

Como já foi dito, cada tipo de peça possui uma maneira específica de se movimentar sobre o tabuleiro de xadrez. Além disso, cada uma das 64 casas, distribuídas em 8 colunas (fileiras verticais) e 8 linhas (fileiras horizontais), possui uma maneira específica de ser localizada (identificada): as oito colunas são nomeadas da letra ‘a’ minúscula até a letra ‘h’ minúscula; e as oito linhas são nomeadas do número 1 até o número 8. Tal forma de “nomear” cada uma das 64 casas do tabuleiro de xadrez é conhecida como sistema de notação algébrica. Dessa forma, as 64 casas do tabuleiro de xadrez podem ser identificadas da seguinte maneira:

Sistema de notação algébrica:

Utiliza-se o sistema de notação algébrica para identificar a casa que uma determinada peça ocupa no tabuleiro de xadrez, sendo que primeiro indicamos a coluna (letra), e em seguida indicamos a linha (número), onde tal peça se encontra.

Por questões de simplicidade, didática, bem como de foco no tema de Matemática a ser abordado (plano cartesiano), iremos nos restringir à seguinte situação (configuração):

● Ao longo deste material, iremos utilizar apenas um tipo de peça, uma torre, que poderá se movimentar livremente pelo tabuleiro de xadrez, ocupando qualquer uma das 64 casas. Dessa forma, iremos desconsiderar todas as outras 31 peças. Iremos focar apenas em uma única peça (torre) “passeando” pelo tabuleiro.

A escolha da Torre, para este plano de aula, deve-se ao fato da sua forma de se movimentar sobre o tabuleiro ser bastante simples: no xadrez, a torre pode se mover na direção vertical, ou na direção horizontal, quantas casas o/a enxadrista desejar.
Consideremos a seguinte configuração :

Observação: Todas as configurações deste plano de aula com a peça torre sobre o tabuleiro de xadrez foram obtidas a partir da manipulação das ferramentas disponibilizadas no seguinte site Xadrez Clube

Configuração I

Como podemos localizar a posição que a torre ocupa na Configuração I?
Utilizando o sistema de notação algébrica, primeiro devemos identificar a coluna (letra) que a torre está ocupando: coluna -> d. Posteriormente, devemos identificar a linha (número) que a torre está ocupando: linha -> 5. Portanto, a posição da torre na Configuração I pode ser indicada pelo par -> d5; ou (d,5).

Observação: No jogo de xadrez utiliza-se uma letra maiúscula (exceto para os peões), a inicial do nome de cada peça, para indicar qual peça está ocupando uma determinada casa no tabuleiro. A letra que representa a peça torre é ‘T’. Dessa forma, deveria se indicar a posição da Configuração I da seguinte maneira: Td5. Contudo, como neste plano de aula, por questões de simplicidade, didática e foco, vamos utilizar apenas uma única peça, não iremos colocar a letra inicial maiúscula ‘T’, para indicar que se trata da peça torre, pois em todas as Configurações existe uma única e mesma peça (torre).

Tratemos agora da Configuração II:

Configuração II

Qual é a posição que a torre ocupa na Configuração II?
A torre está na coluna (fileira vertical) -> g, e na linha (fileira horizontal) -> 1. Portanto, a posição da torre nessa Configuração pode ser indicada pelo par -> g1; ou (g,1).

Vejamos a terceira e última Configuração, para fixarmos as ideias:

Configuração III

Novamente, qual é a posição ocupada pela torre na Configuração III?
A torre está na coluna (fileira vertical) -> b, e na linha (fileira horizontal) -> 7. Portanto, a posição da torre nessa Configuração pode ser indicada pelo par -> b7; ou (b,7).

3ª Etapa: Plano cartesiano

O plano cartesiano (PC) é um objeto matemático criado pelo filósofo, físico e matemático francês René Descartes (1596-1650), com o objetivo de identificar (localizar) a posição de determinados pontos sobre uma superfície bidimensional (com duas dimensões).

Ao localizar um determinado ponto no PC, estamos utilizando um sistema de coordenadas cartesianas. Tais coordenadas cartesianas são formadas por um par ordenado.

Para a construção de tal objeto matemático (PC), necessita-se de duas retas numéricas* , que se interceptam em um único ponto, chamado de origem (origem do PC), e que formam um ângulo reto entre si, ou seja, um ângulo de 90∘.

Essas duas retas são chamadas de eixos, horizontal e vertical, que são perpendiculares entre si (formam um ângulo de 90∘), e pertencem ao mesmo plano. O eixo horizontal cresce da origem para a direita, e decresce da origem para a esquerda. E o eixo vertical cresce da origem para cima, e decresce da origem para baixo.

Plano Cartesiano**

*Retas numéricas, neste caso, podem ser identificadas como retas reais, ou seja, a cada ponto de uma dessas retas (horizontal e vertical) pode ser atribuído um único número real.

**Todos os planos cartesianos deste plano de aula foram obtidos a partir do site Geogebra

Para determinar a localização de um ponto específico no PC, basta atribuir a esse ponto dois números, que possuem uma correspondência direta com os eixos (horizontal e vertical) do PC.

Usualmente, representa-se o eixo horizontal pela letra ‘x’ minúscula. Tal eixo também recebe o nome de eixo das abscissas. Por outro lado, o eixo vertical costuma ser representado pela letra ‘y’ minúscula. O eixo vertical recebe o nome de eixo das ordenadas.

Para localizar um determinado ponto no PC, precisamos identificar, primeiramente, qual é o valor da sua coordenada no eixo x, e, logo em seguida, identificar o valor da sua coordenada no eixo y. Assim, um ponto no PC pode ter a sua localização determinada a partir de um par ordenado (x, y). Onde x e y são as coordenadas cartesianas do ponto em questão.

Quando estávamos determinando a posição (a casa) que a torre estava ocupando em uma determinada configuração, estávamos efetuando uma atividade bastante semelhante com a determinação da localização de um ponto no plano cartesiano. Façamos a seguinte analogia:

● O tabuleiro de xadrez será equivalente ao plano cartesiano (PC)*;
● A torre será equivalente ao ponto do qual queremos determinar a localização no PC;
● As colunas** do tabuleiro (letras ‘a’ até ‘h’) serão equivalentes ao eixo x, eixo das abscissas, no PC; e
● As linhas do tabuleiro (números de ‘1’ até ‘8’) serão equivalentes ao eixo y, eixo das ordenadas, no PC.

Vejamos tal analogia de forma visual:

Configuração (i): Tabuleiro X PC

*Neste primeiro momento, vamos nos concentrar apenas no 1º quadrante do PC.
**Pois, no sistema de notação algébrica do tabuleiro de xadrez, primeiro identificamos a coluna (letra), e posteriormente a linha (número). Já no caso das coordenadas cartesianas, primeiro identificamos o valor da coordenada em x, e posteriormente o valor da coordenada em y. Assim, a letra no tabuleiro de xadrez é equivalente ao eixo das abscissas (x) no PC, e o número no tabuleiro de xadrez é equivalente ao eixo das ordenadas (y) no PC.

Na Configuração (i), temos que a torre ocupa a posição (casa) -> f7 (ou (f,7)). E temos, ainda, que o ponto A está localizado nas seguintes coordenadas cartesianas (x,y) -> (6,7). Seguindo os critérios da nossa analogia, as duas representações são equivalentes.
Vejamos agora a seguinte configuração:

Configuração (ii): Tabuleiro X PC

Na Configuração (ii), a torre ocupa a posição (casa) -> c4 (ou (c,4)), e o ponto A está localizado nas seguintes coordenadas cartesianas (x,y) -> (3,4). Novamente, seguindo os critérios da nossa analogia, as duas representações da Configuração (ii) são equivalentes.

4ª Etapa: Quadrantes do plano cartesiano

Duas retas (eixos) perpendiculares (90∘) que se interceptam num único ponto (origem) criam quatro quadrantes no plano cartesiano (PC). Na seção anterior, por questões de simplicidade, nos concentramos apenas no 1º quadrante do PC.
Os quadrantes são identificados no sentido anti-horário.
No 1º quadrante, as duas coordenadas cartesianas possuem valores positivos, ou seja: x > 0, y > 0. Exemplo de um ponto que está localizado no 1º quadrante do PC:

Ponto A (5,4): 1º Quadrante