Conteúdos

Neste roteiro de estudos você irá estudar sobre as posições relativas entre duas circunferências, retas e circunferências, e pontos e circunferências.

O estudo das posições relativas entre retas e circunferências envolve análise algébrica e geométrica, fornecendo ferramentas importantes para resolver problemas práticos em diversas áreas, como física, engenharia e computação.

Objetivos

  • Identificar a posição relativa entre duas circunferências;
  • Identificar a posição entre uma reta e uma circunferência; e
  • Identificar a posição entre um ponto e uma circunferência.

Conteúdos / Objetos do conhecimento:

  • Posição relativa entre circunferências

Palavras-chave:

Reta. Circunferência. Ponto. Posição relativa.

Proposta de trabalho:

A proposta é desenvolvida para que você, estudante, possa realizar os estudos em qualquer ambiente. O material está dividido em duas etapas, de forma que, na primeira, você estudará sobre a equação geral da reta, e na segunda etapa você irá estudar sobre a equação reduzida da reta, para então finalizar com alguns exercícios de aplicação.

1ª Etapa: Posição relativa entre ponto e circunferência

Dentro da geometria analítica, podemos analisar a posição relativa entre um ponto e uma circunferência a partir de sua equação e as coordenadas do ponto P(x,y). Vamos lá:

1° Caso – quando o ponto é exterior à circunferência. Veja:

Se um ponto P(x,y) é exterior à circunferência de centro C(a,b), podemos dizer que a distância entre o ponto e o centro da circunferência é maior do que o raio:

reta-ponto-circunferência

Se pensarmos na equação da circunferência, podemos fazer o seguinte:

2° Caso – quando o ponto é interior a circunferência. Veja:

Se um ponto P(x,y) é interior à circunferência de centro C(a,b), podemos dizer que a distância entre o ponto e o centro da circunferência é menor do que o raio:

equação-reta-a

Se pensarmos na equação da circunferência, podemos fazer o seguinte:

equação-reta-a

3° Caso – quando o ponto pertence à circunferência. Veja:

Se um ponto P(x,y) pertence à circunferência de centro C(a,b), podemos dizer que a distância entre o ponto e o centro da circunferência é igual ao raio:

reta-ponto-circunferencia-b

Se pensarmos na equação da circunferência, podemos fazer o seguinte:

Verifique a posição do ponto P (2,3) em relação à circunferência

Resolução: Neste caso, basta substituir as coordenadas do ponto:

Assim

Portanto, o ponto é externo à circunferência, uma vez que a distância é maior do que a medida do raio.

2ª Etapa: Posição relativa entre reta e circunferências

Agora, pense um pouco: como você faria para determinar a distância entre uma reta e uma circunferência?

Basta, calcular a distância entre o centro C(a,b) e a reta. Temos três casos, veja:

Considere a reta de equação geral Ax+By+C=0 e a circunferência de equação

equação-reta-b

1º Caso: Reta secante à circunferência

reta-ponto-circunferencia-c

Neste caso, a distância entre a reta e o centro é menor do que a medida do raio:

equação-reta-c

2º Caso: Reta exterior

reta-ponto-circunferencia-d

Neste caso, a distância entre a reta e o centro é maior do que a medida do raio:

equação-reta-d

3º Caso: Reta tangente:

reta-ponto-circunferencia-e

Neste caso, a distância entre a reta e o centro é igual à medida do raio:

Verifique se compreendeu:

Qual é a posição da reta r, dada pela equação  em relação à circunferência de equação ?

Resolução:

Neste caso, precisamos encontrar o centro da circunferência:

equação-reta-f

Percebe-se que a distância é menor do que a medida do raio, portanto a reta é secante.

3ª Etapa: Posição relativa entre circunferências

Agora, pense um pouco sobre as posições relativas entre as duas circunferências. Será que são semelhantes às posições tratadas acima? Em seguida, assista ao vídeo a seguir:

“G. A. Posição relativa entre circunferências

Acesso em: 24 de janeiro de 2024.

4ª Etapa: Praticando

1) Qual é a posição do ponto 𝑃 em relação à circunferência 𝜆 em cada caso?

a) P(1,2) e 𝜆:

b) 𝑃(1,5) e 𝜆:

c) 𝑃(4, −2) e 𝜆:

Gabarito:

a) Interior.

b) Exterior.

c) Sobre a circunferência

Crédito: Brainly 

2) Qual é a posição da reta 𝑠 em relação à circunferência 𝜆 em cada um dos casos a seguir?

a) 𝑠: 3𝑥 − 4𝑦 + 15 = 0 e 𝜆:

b) 𝑠: 2𝑥 − 𝑦 + 1 = 0 e 𝜆:

c) 𝑠: 4𝑥 + 3𝑦 + 8 = 0 e 𝜆:

Gabarito

a) Tangente.

b) Secante.

c) Exterior

Crédito: Brainly 

Materiais Relacionados

Para te ajudar a complementar os estudos, você pode acessar:

“G. A. Posição relativa entre circunferências

Acesso em: 24 de janeiro de 2024.

“G. A. Posição relativa entre reta e circunferência”

Acesso em: 24 de janeiro de 2024.

Lista de exercícios

Acesso em: 24 de janeiro de 2024.

Roteiro de estudos elaborado pelo professor Cícero Inacio dos Santos.

Revisão textual: professora Daniela Leite Nunes.

Coordenação Pedagógica: prof. dr.ª Aline Bitencourt Monge.

Crédito da imagem: Karolina Grabowska – Pexels

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