Conteúdos
– Combinatória
– Probabilidade
– Logaritmo natural
– Estatística
– Gráficos de função logarítmica
Objetivos
– Estudar o Problema do colecionador de cupons da Teoria das Probabilidades
– Trabalhar a ideia de modelagem matemática
– Deduzir fórmulas matemáticas
– Efetuar cálculo médio aproximado da quantidade de figurinhas necessárias para completar um álbum
1ª Etapa: Início de conversa
Com o início das vendas de álbuns de figurinha da Copa do Mundo FIFA, é comum ver nos corredores das escolas, na hora do intervalo, alunos de todas as idades exibindo as figurinhas e seus álbuns que, ao longo de várias semanas, foram preenchidos. Nessa época, ouve-se as mais diversas teorias sobre as temidas figurinhas repetidas e, também, estratégias para evitá-las. Porém, é difícil encontrar um bom argumento matemático para essas conclusões. Então, por que não aproveitar esse momento para introduzir uma importante teoria da probabilidade?
Para despertar interesse nos alunos e iniciar a conversa, o (a) professor (a) poderá mediar um diálogo a partir das seguintes perguntas:
1 – Alguém coleciona ou conhece algum colecionador?
2 – Alguém coleciona ou conhece algum colecionador de cupons ou figurinhas?
3 – Alguém está colecionando ou já colecionou o álbum de figurinhas da Copa do Mundo?
4 – Alguém sabe dizer quanto se gasta para completar um álbum até o final, levando em conta as figurinhas repetidas?
2ª Etapa: Compreendendo o processo de compras de figurinhas
Por se tratar de um fenômeno aleatório, ou seja, uma experiência cuja realização depende do acaso, o gasto com um álbum de figurinhas deve ser estudado como um problema que envolve a linguagem probabilística. Sendo assim, pode-se mudar a pergunta para:
“Em média, quantas figurinhas é preciso comprar para completar o álbum?”
Para que seja possível responder essa pergunta, é preciso ter claras algumas considerações:
i. todas as figurinhas são impressas na mesma quantidade;
ii. o número de figurinhas impressas é suficientemente grande para poder considerar que as figurinhas obtidas em cada compra são independentes das obtidas nas demais;
iii. as figurinhas repetidas não serão trocadas;
iv. as figurinhas são compradas individualmente, ou seja, cada pacote contém uma única figurinha.¹
¹Embora as figurinhas usualmente sejam compradas em pacotes com várias figurinhas, a última hipótese facilita a análise, sem modificar de modo essencial os resultados.
Nessa etapa, é muito importante que estejam claros os motivos pelos quais as quatro considerações acima devem ser tomadas como requisito necessário para o estudo.
3ª Etapa: O Problema do Colecionador de Cupons
Nessa etapa, para solucionar o caso das figurinhas do álbum, o (a) professor (a) aplicará a técnica de modelagem matemática, isso só será possível porque os cálculos para esse problema podem ser generalizados para o caso do Colecionador de Cupons.
O Problema do Colecionador de Cupons é conhecido na Teoria das Probabilidades (Feller, 1968). Seu objetivo é definir quantas unidades o colecionador deve adquirir para completar a coleção.
Resumindo o caso:
Suponha que um procedimento seja repetidamente executado, de modo que, em cada realização, tenha uma probabilidade p de ser bem sucedido (0 < p < 1). Como descobrir o número médio de tentativas até obter sucesso?
Considere que as tentativas frustradas têm probabilidade igual a 1-p, já que tentativas bem sucedidas têm probabilidade p. Sabemos que todas as tentativas são independentes e que:
– para que o sucesso ocorra na n-ésima tentativa, basta que ocorram n-1 tentativas frustradas, seguidas por uma bem sucedida;
– multiplicando as probabilidades, temos a possibilidade do primeiro sucesso ocorrer:
(1-p)n-1.p
Sabemos que um resultado aleatório pode assumir valores x1, x2, x3,… com probabilidades p1, p2, p3,… . Definimos seu valor médio (ou esperado) como m=x1 p1+ x2 p2+ x3 p3+⋯
Portanto, o número médio de tentativas até o primeiro sucesso será:
m=1.p+2.(1-p)p+〖3.(1-p)〗² p+⋯
Podemos escrever a mesma soma com coeficientes iguais a 1:
m=p+(1-p)p+(1-p)² p+⋯
+(1-p)p +(1-p)² p+⋯
+ (1-p)²p+⋯
Agora, cada linha tem a soma infinita de uma progressão geométrica de razão (1-p). Somando os resultados de cada linha, temos:
m=p/(1-(1-p))+((1-p)p)/(1-(1-p))+ ((1-p)²p)/(1-(1-p))+⋯=1+(1-p)+(1-p)²+⋯
Mais uma vez, a soma dos termos de uma progressão geométrica de razão (1-p), resulta em:
m= 1/(1-(1-p))=1/p
Encontrando a fórmula:
Suponha que o álbum tenha um total de N figurinhas e que já tenhamos n figurinhas no álbum, sendo assim, é possível fazer um cálculo de probabilidade simples. Sabemos que:
n/N é a probabilidade da compra de uma figurinha resultar em uma figurinha repetida;
a probabilidade da compra resultar em uma figurinha nova é p = (N-n)/N .
Segundo (I), o número médio de tentativas até se obter a próxima figurinha nova é:
1/p= 1/((N-n)/N)= N/(N-n)
Para terminar, é preciso pensar no preenchimento do álbum como algo que acontecerá em N etapas:
Logo,
4ª Etapa: Aplicando a fórmula encontrada
Para realizar essa etapa, o (a) professor (a) poderá contar com o auxílio de uma planilha eletrônica para gerar o cálculo do fator ( 1+ 1/2+ 1/3+⋯ + 1/N). Ou, caso julgue possível, poderá mostrar que tal fator é da ordem de ln(N), por meio do gráfico do logaritmo neperiano, gerando a fórmula aproximada Nln(N).
Aplicando a fórmula encontrada para o caso do álbum de figurinhas da Copa do Mundo FIFA Rússia 2018, que tem um total de 682 figurinhas, conclui-se que, em média, deve-se comprar aproximadamente
682*ln〖(682) ≅682*〗 6,52 ≅ 4450 figurinhas.²
² Quantidade encontrada a partir das considerações feitas no início do estudo.
Materiais Relacionados
1 – Uma leitura simplificada sobre o tema pode ser encontrada no artigo “Quantas figurinhas comprar para completar o álbum da Copa?, Paulo Cezar Pinto Carvalho, em Revista do Professor de Matemática.
2 – Uma leitura motivadora para os alunos: “Quanto se gasta para completar o álbum da Copa”.
3 – Para entender sobre como utilizar o Problema do colecionador de cupons, confira o trabalho: “Álbuns de figurinhas: uma modelagem do problema do colecionador de cupons” de Flávia Freitas Maia, Rafael Garcia Barbastefano e Dayse Haime Pastore.
4 – Referência teória: Feller, W. – Introdução à teoria de probabilidades e suas aplicações.