Conteúdos

Potenciação;

Decomposição de um número natural em potências de base 2
 

Objetivos

Investigue padrões e regularidades; 

Apresente estratégias para resolução de um problema;
Investigue a decomposição de números naturais em somas de potências de 2;
Apresente os números binários. 
 

1ª Etapa: Brincadeira com os cartões – descobrindo o truque para “ler a mente”

A aula deve iniciar com um truque para ler a mente. Antes, prepare os cartões para iniciar a aula. Faça cartões grandes, para que todos os alunos possam ver. Sugiro que utilize um papel grosso para o manuseio dos alunos. Para o truque, são necessários quatro cartões, exatamente como abaixo. (Veja a tabela/ imagem/ figura no material de apoio anexo nesse plano de aula).

 

Leve os quatro cartões para a lousa, e explique aos alunos que você vai lerá a mente deles. 

 

1. Peça a um aluno para pensar em um número entre 1 e 15. Atenção, ele não deve falar o número pensado, apenas anotar numa folha do caderno. 

 

2. Mostre cada um dos cartões para o aluno e pergunte se o número está ou não no cartão. 

 

3. Separe os cartões em que o número “está” de um lado e os que o número “não está” de outro.

 

4. Depois, observe os cartões onde o número pensado “está” e some o número do canto superior esquerdo dos cartões. A soma desses números é o número pensado! Caso o número pensado apareça apenas em um cartão, o número do canto superior esquerdo é o pensado.

 

Por exemplo, suponha que o aluno separe os cartões do seguinte modo:  (Veja a tabela/ imagem/ figura no material de apoio anexo nesse plano de aula).

 

O número pensado será 8 + 1 = 9.

 

Faça a brincadeira diversas vezes, até que os alunos descubram qual é o truque. Você pode ajuda-los a organizar as situações, mas sem dar a resposta. Por exemplo, peça aos alunos que anotem as diferentes situações em uma tabela. Em uma coluna colocam os cartões “está”, em outra os cartões “não está” e na outra o número pensado. (Veja a tabela/ imagem/ figura no material de apoio anexo nesse plano de aula).

 

Depois de algum tempo, e insistência do professor, os alunos devem começar descobrir como o truque funciona. Quando perceber que algum aluno está no caminho certo, peça para ele explicar para os colegas. Você pode ajudá-lo fazendo o papel da pessoa cuja mente será lida. Pense em um número, separe os cartões e peça para o aluno dizer em que número pensou e explicar como o fez. 

 

É interessante disponibilizar cartões para os alunos, para que façam a brincadeira com colegas que ainda não conhecem o truque.  

 

 

 

2ª Etapa: Organizando o truque

Depois que os alunos descobrirem o truque, é hora de falar sobre potências. O truque funciona porque é possível obter qualquer número natural ao somar potências de dois (1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, …). Observe os exemplos:

 

7 = 20 + 21 + 22

 

7 = 1 + 2 + 4 10 = 21 + 23

 

10 = 2 + 8

 

Cada número pode ser descrito por uma soma única de potências de 2. E, com essa informação, podemos criar uma combinação única de “está” e “não está”. 

 

O número 7, por exemplo, está nos cartões com os números 1, 2 ou 4 no canto superior esquerdo, e não está nos demais cartões.

 

Já o número 10 está nos cartões com o número 2 ou 8 no canto superior esquerdo, e não está nos demais cartões.

 

Peça aos alunos para completarem a tabela a seguir a partir da explicação acima. Você pode completar as linhas com os números pensados 7 e 10 se julgar necessário. (Veja a tabela/ imagem/ figura no material de apoio anexo nesse plano de aula).

 

3ª Etapa: Aperfeiçoando o truque

Explique aos alunos que você quer aumentar a possibilidades de números adivinhados, e para isso precisará de um novo cartão. Pergunte qual deveria ser o número no canto superior no quinto cartão. Espera-se que, a partir do padrão das potências de 2, eles percebam que será o número 24 = 16. 

 

Em seguida, pergunte qual é o maior número que a pessoa deve pensar. Para responder a esta pergunta, espera-se que o aluno some os valores do canto superior dos 5 cartões: 1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31.

 

Para quer deixar o truque mais interessante será necessário criar um quinto cartão e incluir outros números nos quatro cartões já existentes. Peça aos alunos que montem os 5 cartões. 

 

Para resolver este problema, o aluno pode pensar na decomposição em adições de potências de 2 dos números de 16 a 31, ou ampliar a tabela proposta na segunda etapa. Neste caso, ele deve criar uma quinta coluna (o cartão com o quinto número) e outras linhas com os números de 16 a 31, como abaixo. (Veja a tabela/ imagem/ figura no material de apoio anexo nesse plano de aula).

 

Existem ainda outras estratégias para observar a regularidade dos números de cada cartão e completá-los. O cartão cujo número no canto superior esquerdo é 1, por exemplo, só tem números ímpares. Já o cartão cujo número no canto superior esquerdo é 16 mostra a sequência de números naturais de 16 a 31.  

 

Peça para que eles investiguem os diferentes padrões e socialize com a turma toda. 

 

4ª Etapa: O truque e os números binários

Peça aos alunos substituir as palavras “está” e “não está” da tabela da terceira etapa pelos números 1 e 0. No lugar de “está”, o aluno deve colocar o algarismo 1 e no lugar de “não está” o algarismo 0. Em seguida, peça para que eles leiam cada um dos números formados e explique que eles estão utilizando os números binários.

 

Entre as diferentes aplicações deste sistema de numeração, está o uso deles nos computadores. Apresente o vídeo “Hit dos bits”, ele explica como as informações são armazenadas nos computadores e comenta sobre as vantagens e desvantagens de se comprimir os arquivos armazenados. 

 

Veja a seguir outra aplicação dos números binários descrita na questão do Enem. Peça aos alunos para indicarem sua data de aniversário no sistema binário, em seguida, peça que desenhem um código de barras com essas informações. 

 

(ENEM-2002) O código de barras, contido na maior parte dos produtos industrializados, consiste num conjunto de várias barras que podem estar preenchidas com cor escura ou não. Quando um leitor óptico passa sobre essas barras, a leitura de uma barra clara é convertida no número 0 e a de uma barra escura, no número 1. Observe abaixo um exemplo simplificado de um código em um sistema de código com 20 barras. (Veja a tabela/ imagem/ figura no material de apoio anexo nesse plano de aula).

 

 

Se o leitor óptico for passado da esquerda para a direita irá ler: 01011010111010110001

 

Se o leitor óptico for passado da direita para a esquerda irá ler: 10001101011101011010 

 

No sistema de código de barras, para se organizar o processo de leitura óptica de cada código, deve-se levar em consideração que alguns códigos podem ter leitura da esquerda para a direita igual à da direita para a esquerda, como o código 00000000111100000000, no sistema descrito acima. Em um sistema de códigos que utilize apenas cinco barras, a quantidade de códigos com leitura da esquerda para a direita igual à da direita para a esquerda, desconsiderando-se todas as barras claras ou todas as escuras, é 

 

(A) 14. 

 

(B) 12. 

 

(C) 8.

 

(D) 6. 

 

(E) 4.

 

Resposta: Alternativa D.

 

Materiais Relacionados

1. O truque com os cartões é apresentado no artigo “Os pequenos gostam de grandes ideias” publicado na revista Cálculo: Matemática para todos (edição 12, ano 1, 2012, p. 29).

 
2. O vídeo “Hit dos bits” apresenta o sistema de numeração binário e mostra aplicações de sistemas de numeração diferentes do decimal. 
 

Arquivos anexados

  1. Cartões para ler a mente

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