Conteúdos
Produtos notáveis:
– Quadrado da soma de dois termos;
– Quadrado da diferença de dois termos;
– Produto da soma pela diferença.
Objetivos
– Traduzir informações geométricas para a linguagem algébrica;
– Comparar escritas algébricas e reconhecer equivalências entre elas;
– Reconhecer e desenvolver o quadrado da soma de dois termos utilizando estratégias de cálculo algébrico e geométrico.
– Produtos notáveis apresentam padrões que permitem economizar cálculos.
– O quadrado da soma de dois termos: ( a + b)² = a² + 2.a.b + b².
– O quadrado da diferença de dois termos: (a – b)² = a² – 2.a.b + b².
– Produto da soma pela diferença de dois termos: (a + b).(a – b ) = a² – b².
– O quadrado da soma ou quadrado da diferença tem três parcelas.
– A única diferença entre o quadrado da soma e o quadrado da diferença é que o termo do meio tem sinais opostos. Quadrado da soma (+2ab) e o quadrado da diferença (– 2ab).
– O produto da soma pela diferença tem apenas duas parcelas.
– Fatorar um produto notável é escrevê-lo na forma de multiplicação de binômios.
– Trinômio é um polinômio que tem três monômios sem termos semelhantes.
– Trinômios quadrados perfeitos são produtos notáveis.
1ª Etapa: Produto notável e a planta de um apartamento.
Antes de iniciar este trabalho, consulte a sinopse dos conceitos e os links sugeridos na aba “Para organizar o trabalho e saber mais”.
Discuta coletivamente o significado do termo notável. Para exemplificar, use frases como:
– "Os atletas tiveram um desempenho notável" e
-"Os EUA parabenizam o Chile pelo notável resgate dos mineiros soterrados".
Em seguida, proponha que, em duplas, os alunos observem o quadrado abaixo e respondam a questão:
– “O projeto arquitetônico para habitação de pessoas solteiras é desenvolvido a partir de pequenos apartamentos na forma de um quadrado. Com apenas uma sala, uma cozinha e um quarto com banheiro.”
Veja a imagem sugerida no link 7 e determine o polinômio da área total desse empreendimento. Mas, antes escute uma paródia da música “Liberdade pra dentro da cabeça” para estudar o quadrado da soma de dois termos disponível no link 2, aba Para organizar seu trabalho e saber mais.
2ª Etapa: Produto notável e as áreas do quarto e da cozinha.
Continue trabalhando com a figura da etapa anterior. Peça que os alunos respondam, levando em conta os resultados encontrados, se é possível determinar as áreas do quarto I e da cozinha II. Deixe claro que é necessário justificar a resposta. Acompanhe o trabalho, fazendo observações sobre os registros, pois eles são indicadores de como os estudantes pensam e ajudam você a reconhecer os principais obstáculos encontrados pelo grupo.
Se notar dificuldades, faça alguns questionamentos.
– "Há dados no problema que nos permitem determinar a área de cada retângulo?",
– "Em caso afirmativo, quais são eles?"
– "Em caso negativo, que informações são necessárias para realizar o cálculo?"
– São bons exemplos de intervenção. Socialize as respostas e as dúvidas para que a turma levante hipóteses e chegue a uma conclusão.
3ª Etapa: Produto notável e a área total do apartamento.
Peça que as duplas representem a área total do apartamento usando um polinômio. Estabeleça que, se houver termos semelhantes, eles devem ser agrupados para que o polinômio se apresente na forma reduzida. Registre no quadro as respostas que aparecerem (inclusive as que não se apresentam na forma reduzida) e proponha uma discussão.
É importante que os alunos reconheçam a equivalência entre as escritas algébricas
x² + 3x + 3x + 9 e x² + 6x + 9.
Esclareça, porém, que para o enunciado proposto somente o segundo polinômio é adequado.
Agora proponha esse desafio:
– Observe a imagem abaixo, leia atentamente as informações e tente descobrir a solução deste desafio.
Uma veterinária vai ampliar o seu canil conforme a figura abaixo. A figura representa uma região retangular. Para abrigar mais cães, pretende-se ampliar essa região em uma mesma medida, tanto no comprimento quanto na largura.
4ª Etapa: Produto notável e Arte
Quadrado da diferença de dois termos é igual ao quadrado do 1º termo menos duas vezes o 1° termo vezes o 2° termo mais o quadrado do 2° termo.
(a – b)² = a² – 2ab + b²
O professor responsável por Artes pode também fazer com os alunos um trabalho com porta-retratos. Para adiantar o trabalho, o professor traz um molde pronto, só que a foto de Rodrigo é menor que o molde. Veja o link da imagem para esta atividade no Link 9
Então, será preciso recortar 1 cm de duas bordas do molde, conforme a figura a cima. Sendo assim, qual trinômio quadrado perfeito representa o tamanho da foto após a retirada das bordas?
Tá difícil!? Assista aos vídeos disponíveis nos links 3, 4 e 5, aba Para organizar seu trabalho e saber mais. E conheça o quadrado da diferença de dois termos.
5ª Etapa: Produto notável e as plataformas de petróleo.
Uma plataforma petrolífera pode ser de duas maneiras, em terra firme recebe o nome de plataforma "on-shore" e no mar recebe o nome de plataforma "off-shore" e é uma grande estrutura usada na perfuração em alto mar para abrigar trabalhadores e as máquinas necessárias para a perfuração de poços no leito do oceano para a extração de petróleo e/ou gás natural, processando os fluidos extraídos e levando os produtos, de navio, até a costa. (imagem disponível no link 10).
6ª Etapa: Vamos a um desafio!
Uma nova plataforma está sendo construída para substituir a forma quadrada da base por outra de base retangular. Essa nova plataforma em que os lados eram iguais na base quadrada foi reduzida em 100 m um lado e o outro foi adicionado 100 m. Desta forma, a plataforma passou a ter a área da superfície igual a 30 000 m². Qual era a medida inicial do lado da plataforma quadrada?
Tá difícil!? Veja a orientação no link 12.
7ª Etapa: 7ª Etapa: Avaliação
Para que os alunos estabeleçam relações e realizem generalizações, peça que, individualmente ou em grupo realizem a Atividade Proposta disponível no link 6, na aba Para organizar seu trabalho e saber mais.
Explique que os cálculos propostos são conhecidos como o quadrado da soma de dois termos. Pergunte aos estudantes se há alguma relação entre os termos do binômio e o resultado obtido. Incentive-os a estabelecer relações entre esses resultados e a palavra notável destacada nas frases da etapa inicial. O objetivo é que considerem os produtos notáveis como termos que são de uso frequente no estudo de álgebra.
Materiais Relacionados
1. A Educopédia é uma plataforma online colaborativa de aulas digitais;
2. Paródia da música “Liberdade pra dentro da cabeça” para estudar o quadrado da soma de dois termos;
3. O quadrado da soma de dois termos link;
4. O quadrado da diferença de dois termos link: http://bit.ly/29Wh9pY e http://bit.ly/29ZcKT1;
5. Produto da soma pela diferença link: http://bit.ly/29CxgYn e http://bit.ly/29P3BxF
6. Atividade Proposta: http://bit.ly/29Cx8be ou http://bit.ly/29V0C6U
7. Desenho para a atividade proposta na Etapa 1;
8. Livro: Vontade de saber matemática, 8º ano/ Joamir Roberto de Souza, FTD, 2009. pág: 84.
9. Link para a imagem da atividade da 4ª etapa.
10. Link para a atividade da 5ª etapa;
11. Link para a atividade da 6ª etapa;
12. Clique aqui!