Conteúdos
Ladrilhamento com polígonos regulares;
Área de polígonos;
Polígonos, matemática;
Objetivos
• Observar as condições para a pavimentação do plano com polígonos regulares de um só tipo.
• Perceber as relações matemáticas em contextos fora da sala de aula.
• Investigar uma situação geométrica que busca a melhor relação custo-benefício.
• Calcular perímetro e área de polígonos regulares.
1ª Etapa: início de conversa – pavimentação do plano com polígonos regulares de um só tipo
Inicie a aula com uma atividade em grupo (sugerimos o trabalho com trios). Peça aos alunos que utilizem o recurso sugerido no Link 2 da Aba “para saber mais”. O objetivo é que os alunos discutam sobre quantas e quais são as pavimentações lado-lado do plano que usam apenas um tipo de polígono regular. O software permite que o aluno experimente e descubra propriedades deste tipo de mosaico.
Caso não seja possível utilizar o software, você pode disponibilizar polígonos recortados em um papel resistente (sugerimos papelão paraná, o mesmo utilizado na confecção de maquetes): triângulos equiláteros, quadrados, pentágonos regulares, hexágonos regulares, …, todos com uma mesma medida de lado. Você pode pedir para que o próprio aluno confeccione o material, dependendo da disponibilidade de tempo. Esta seria uma oportunidade para desenvolver com os alunos a habilidade de construir figuras geométricas com régua e compasso.
Espera-se que, ao final da atividade, os alunos identifiquem que os únicos polígonos regulares que podem ser utilizados para pavimentação do plano são o triângulo equilátero, o quadrado e o hexágono regular. Isso ocorre por que a soma dos ângulos desses polígonos regulares com vértice em um nó da pavimentação é 360°.
– Seis triângulos equiláteros -> 6 ? 60° = 360°
– Quatro quadrados -> 4 ? 90° = 360°
– Três hexágonos regulares -> 3 ? 120° = 360°
2ª Etapa: quais destes polígonos oferecem melhor “custo-benefício”?
Instigue os alunos a refletir sobre a utilidade deste tipo de observação. Pergunte se eles reconhecem esta pavimentação em algum lugar. Possivelmente eles vão citar a disposição de pisos e azulejos em construções. Conduza a turma com perguntas, até que citem o exemplo da colmeia das abelhas. Quando citarem este exemplo, pergunte por que as abelhas não utilizam colmeias com alvéolos triangulares ou quadrados. O papel do professor é essencial neste momento para que os alunos levantem hipóteses e argumentem sobre a situação. Sem falar explicitamente, o professor deve levar os alunos a questionar sobre o “custo-benefício” de cada formato de alvéolo.
Ao final da problematização, espera-se que os alunos percebam que o melhor alvéolo é aquele que tem a maior área interna em relação ao perímetro. Em outras palavras, isso significa que as abelhas gastarão a menor quantidade possível de cera, mas garantirão o maior espaço interno.
Depois que os alunos compreenderem a ideia do “custo-benefício”, peça que calculem a área e o perímetro de cada polígono. É muito provável que os alunos comecem a investigação fixando a medida do lado l do polígono:
Note que, cada polígono tem perímetro e área diferentes. Ao fixarmos o lado do polígono, temos que, quanto maior a quantidade de lados do polígono, maior o perímetro e a área. Essa observação não é suficiente para que possamos comparar o “custo-benefício”.
Ainda que esta não seja a melhor estratégia para resolver o problema, deixe que os alunos descubram isso sozinhos, não interrompa a execução da estratégia. Espera-se que, caso eles tenham seguido este caminho, percebam depois que será necessário fixar, ou o perímetro, ou a área. Veja a seguir os valores que o aluno deve encontrar caso fixe o valor do perímetro em 6l:
Na tabela, fixamos o valor do perímetro em 6l, mas ele poderia ter usado uma incógnita qualquer, por exemplo P. Note que:
Ou seja, temos que a área do triângulo equilátero de perímetro P = 6l é menor que a área de um quadrado com o mesmo perímetro, que por sua vez, é menor que á área de um hexágono regular com o mesmo perímetro. Desse modo, o polígono que trás melhor custo-benefício é o hexágono regular.
3ª Etapa: Um pouco mais
Fale aos alunos que não é apenas a “pavimentação da colmeia” que tem o melhor custo-benefício, o encaixe de cada alvéolo também foi pensado desse modo.
Apresente o vídeo “Abelhas matemáticas” da série Matemática na Escola – Unicamp, disponível no link 1. O vídeo traz informações sobre as abelhas, sua organização social, sobre a forma hexagonal dos alvéolos, e mostra que a forma dos alvéolos construídos pelas abelhas é a que apresenta maior capacidade usando uma determinada quantidade de cera.
Após o vídeo, peça para os alunos refletirem sobre o formato das embalagens, principalmente as que possuem formato de prisma, e questione-os sobre um possível motivo que explique por que a maior parte das embalagens não possui base hexagonal.
Materiais Relacionados
1. O vídeo “Abelhas matemáticas”, apresenta uma situação contextualizada utilizando conceitos matemáticos. O vídeo mostra que “os alvéolos hexagonais das abelhas têm a forma ótima em relação à capacidade para armazenar mel.
2.
O
recurso digital permite que o aluno determine todas as pavimentações lado-lado do plano que usam apenas um tipo de polígono regular.
5.
O artigo Abelhas:
A Matemática dos alvéolos, escrito pelo dr. Augusto Carlos Vasconcelos, traz informações mais apuradas e relevantes para o professor sobre a matemática presente na colmeia das abelhas.
Arquivos anexados
- As abelhas matemáticas
