Conteúdos

Este plano de aula tem como objetivo desenvolver a compreensão das equações do 2º grau, suas características, formas de resolução e aplicações em diferentes situações-problema. Os estudantes serão incentivados a reconhecer uma equação do 2º grau, identificar seus coeficientes, compreender o significado das raízes, calcular o discriminante (Δ) e utilizar a fórmula de Bhaskara para encontrar as soluções. Ao longo das aulas, serão propostas situações-problema relacionadas ao cotidiano, favorecendo a construção do conhecimento matemático e o desenvolvimento do raciocínio lógico.

Objetivos

• Compreender o conceito de equação do 2º grau;
• Identificar a forma geral de uma equação do 2º grau;
• Identificar os coeficientes a, b e c;
• Compreender o significado das raízes ou soluções de uma equação;
• Calcular o discriminante (Δ);
• Utilizar a fórmula de Bhaskara para resolver equações do 2º grau;
• Identificar a quantidade de raízes reais de uma equação;
• Resolver situações-problema utilizando equações do 2º grau;
• Desenvolver estratégias de resolução e raciocínio lógico-matemático.

Conteúdos / Objetos do conhecimento

• Equações do 2º grau;
• Forma geral: ax² + bx + c = 0;
• Coeficientes a, b e c;
• Equações completas e incompletas;
• Raízes ou soluções de uma equação;
• Discriminante (Δ);
• Fórmula de Bhaskara;
• Quantidade de raízes reais;
• Resolução de problemas envolvendo equações do 2º grau.

Palavras-Chave:

Equação do 2º grau, incógnita, coeficientes, raízes, solução, discriminante, delta, Bhaskara, raciocínio lógico.

Previsão para aplicação:

4 aulas de 50 minutos/cada.

Proposta de trabalho:

A proposta busca desenvolver a compreensão das equações do 2º grau por meio da investigação de situações-problema e da construção gradual dos conceitos matemáticos.

Os alunos serão estimulados a:

• reconhecer situações que podem ser representadas por uma equação do 2º grau;
• identificar os coeficientes de uma equação;
• compreender o significado das raízes;
• calcular o discriminante;
• utilizar a fórmula de Bhaskara;
• verificar e interpretar as soluções encontradas;
• relacionar as equações do 2º grau a situações do cotidiano.

A metodologia inclui:

• problematização;
• levantamento de conhecimentos prévios;
• exposição dialogada;
• investigação matemática;
• trabalho em grupo;

1ª Etapa: Introdução e problematização

Inicie perguntando aos alunos:

“Uma escola deseja construir um jardim retangular com área de 48 m². Sabendo que o comprimento será 2 metros maior que a largura, como podemos descobrir as dimensões desse jardim?”

Permita que os estudantes apresentem suas estratégias e tentativas de resolução.

Questione:

• Como podemos representar a largura do jardim?
• Se o comprimento é 2 metros maior que a largura, como podemos representá-lo?
• Como podemos calcular a área de um retângulo?
• É possível transformar essa situação em uma equação?
• Que tipo de equação podemos obter?

Apresente a ideia de que algumas situações-problema não podem ser resolvidas apenas por uma equação do 1º grau. Quando aparece uma incógnita elevada ao quadrado, podemos ter uma equação do 2º grau.

Apresente a forma geral:

ax² + bx + c = 0

Explique que:

• a é o coeficiente de x²;
• b é o coeficiente de x;
• c é o termo independente;
• a ≠ 0.

Apresente exemplos:

x² + 5x + 6 = 0
2x² – 8x + 6 = 0
3x² – 12 = 0

Solicite aos alunos que identifiquem os valores de a, b e c em cada exemplo.

2ª Etapa: Construção do conceito

Explique que uma equação do 2º grau pode apresentar uma ou duas soluções reais, dependendo do valor do discriminante.

Apresente o conceito de discriminante (Δ):

Δ = b² – 4ac

Explique que o valor de Δ permite analisar a quantidade de raízes reais da equação:

• Δ > 0: duas raízes reais diferentes;
• Δ = 0: duas raízes reais iguais;
• Δ < 0: não existem raízes reais.

Em seguida, apresente a fórmula de Bhaskara:

x = (-b ± √Δ) / 2a

Mostre passo a passo como resolver uma equação.

Exemplo:

x² – 5x + 6 = 0

Identificação dos coeficientes:

a = 1
b = -5
c = 6

Cálculo do discriminante:

Δ = b² – 4ac
Δ = (-5)² – 4 · 1 · 6
Δ = 25 – 24
Δ = 1

Aplicando Bhaskara:

x = (5 ± √1) / 2

Assim:

x₁ = 3
x₂ = 2

Portanto, as raízes da equação são 2 e 3.

Promova a investigação:

• O que representa cada coeficiente da equação?
• Para que serve o discriminante?
• O que significa encontrar as raízes de uma equação?
• O que acontece quando Δ é positivo?
• O que acontece quando Δ é igual a zero?
• O que acontece quando Δ é negativo?
• Por que precisamos identificar os valores de a, b e c antes de utilizar Bhaskara?

Construa com a turma um roteiro de resolução:

1. Identificar a, b e c.
2. Calcular Δ.
3. Analisar o valor de Δ.
4. Aplicar a fórmula de Bhaskara.
5. Encontrar as raízes.
6. Verificar e interpretar a resposta.

3ª Etapa: Aplicações práticas

Nesta etapa os alunos deverão trabalhar em grupos de até quatro integrantes.

Cada grupo receberá uma situação-problema envolvendo equações do 2º grau.

Situação – Grupo 1

Uma escola possui um espaço retangular destinado à construção de uma área de convivência. A área total será de 60 m².

Sabendo que o comprimento possui 7 metros a mais que a largura, determine as dimensões do espaço.

Os alunos deverão:

• definir uma incógnita;
• representar as dimensões;
• montar a equação do 2º grau;
• resolver a equação;
• interpretar a resposta.

Situação – Grupo 2

Uma bola é lançada verticalmente, e sua altura, em determinado modelo matemático, pode ser representada pela expressão:

h(t) = -t² + 6t + 7

Os alunos deverão descobrir em quais instantes a bola estará no nível do solo.

Para isso, deverão considerar:

h(t) = 0

e resolver a equação do 2º grau obtida.

Discutam:

• O que representam as raízes encontradas?
• Qual delas representa o instante inicial?
• Qual delas representa o momento em que a bola retorna ao solo?

Situação – Grupo 3

Uma empresa deseja construir uma placa retangular com área de 96 m². O comprimento da placa deverá ser 4 metros maior que sua largura.

Os alunos deverão:

• representar a largura por x;
• representar o comprimento por x + 4;
• montar a equação;
• calcular o discriminante;
• utilizar Bhaskara;
• determinar as dimensões da placa.

Situação – Grupo 4

Considere as equações:

x² – 8x + 16 = 0
x² – 7x + 10 = 0
x² + 2x + 5 = 0

Os alunos deverão calcular o discriminante de cada uma e identificar:

• qual possui duas raízes reais diferentes;
• qual possui duas raízes reais iguais;
• qual não possui raízes reais.

Em seguida, deverão explicar como o valor de Δ permite fazer essa classificação.

Situação – Grupo 5

Uma professora apresenta três equações aos estudantes:

x² – 9x + 20 = 0
2x² – 8x = 0
x² – 25 = 0

Os alunos deverão resolver as três equações e investigar se existe mais de uma estratégia para encontrar suas soluções.

Depois, deverão discutir:

• Todas precisam necessariamente ser resolvidas pela fórmula de Bhaskara?
• Existem equações que podem ser resolvidas por fatoração?
• Como podemos verificar se uma solução encontrada está correta?

Ao final das atividades, cada grupo deverá apresentar sua estratégia de resolução para a turma.

Durante a socialização, incentive os alunos a comparar os diferentes métodos utilizados e discutir possíveis erros.

Questione:

• Qual foi a primeira informação que vocês identificaram no problema?
• Como transformaram a situação em uma equação?
• Qual foi a estratégia utilizada para resolver a equação?
• O resultado encontrado faz sentido dentro do problema?
• Existem soluções matemáticas que precisam ser descartadas na situação-problema? Por quê?

Finalize retomando o procedimento:

Problema → Equação → Identificação de a, b e c → Δ → Bháskara → Raízes → Interpretação

Ao final deste percurso, espera-se que os estudantes compreendam que as equações do 2º grau são ferramentas importantes para representar e solucionar diferentes situações matemáticas. Espera-se também que sejam capazes de identificar seus elementos, calcular o discriminante, aplicar a fórmula de Bhaskara e interpretar as soluções encontradas em diferentes contextos.

O trabalho com situações-problema deve favorecer o desenvolvimento do raciocínio lógico, da autonomia na resolução de problemas e da capacidade de relacionar a linguagem algébrica a situações concretas.

Plano de aula elaborado pela Professora Gabriela R. do Prado

Coordenação Pedagógica Prof.ª Dr.ª Aline Monge.

Crédito da imagem: martinedoucet – Getty Images