Conteúdos

Este roteiro de estudos trata do conceito de semelhança de triângulos, reconhecendo seus critérios (AA, LAL e LLL) e as relações de proporcionalidade entre seus lados. O objetivo do material é apoiar os alunos na aplicação desse conhecimento para a resolução de problemas e em situações do cotidiano, desenvolvendo o raciocínio lógico e a interpretação matemática.

Objetivos

• Compreender o conceito de semelhança de triângulos;
• Identificar critérios de semelhança (AA, LAL, LLL);
• Resolver problemas envolvendo proporcionalidade entre lados; e
• Aplicar o conceito em situações do cotidiano.

Conteúdos / Objetos do conhecimento:

• Conceito de semelhança;
• Razão de semelhança;
• Critérios de semelhança de triângulos (AA, LAL, LLL); e
• Proporcionalidade entre lados.

Palavras-chave:

Triângulos. Semelhanças. Ângulos. Proporcionalidade.

Proposta de trabalho:

Este roteiro de estudos busca apoiar os alunos de forma significativa, relacionando o conteúdo matemático com situações do cotidiano.

A abordagem será baseada em atividades investigativas, dinâmicas e colaborativas, nas quais os estudantes serão incentivados a observar, comparar e analisar diferentes figuras, identificando padrões e relações de proporcionalidade.

Bons estudos!

1ª Etapa: O que significa “semelhança”?

Observe a seguinte situação:

Como seria possível descobrir a altura de um prédio sem subir nele?

Pode parecer impossível à primeira vista, mas a matemática permite resolver esse tipo de problema, usando a ideia de semelhança de triângulos.

Imagine que, em um dia ensolarado, o prédio projeta uma sombra no chão. Uma pessoa próxima ao prédio também projeta uma sombra. Como os raios solares atingem os dois objetos na mesma inclinação, formam-se dois triângulos com o mesmo formato: um grande (o do prédio) e um menor (o da pessoa).

Esses triângulos possuem:

• ângulos correspondentes iguais; e
• lados proporcionais.

Por isso, podemos usar medidas conhecidas (como a altura da pessoa e o tamanho das sombras) para descobrir medidas desconhecidas, como a altura do prédio.

É exatamente isso que estudaremos neste roteiro.

Duas figuras são consideradas semelhantes quando:

• possuem a mesma forma;
• podem ter tamanhos diferentes;
• apresentam ângulos correspondentes iguais;
• possuem lados proporcionais.

Isso significa que uma figura pode ser uma ampliação ou uma redução da outra.

2ª Etapa: Entendendo a ideia de proporcionalidade

Quando dizemos que os lados são proporcionais, queremos dizer que existe uma mesma razão entre eles.

Exemplo:

Imagine dois triângulos:

• Triângulo A: lados 3 cm, 4 cm e 5 cm;
• Triângulo B: lados 6 cm, 8 cm e 10 cm.

Perceba:

Todos os lados do segundo triângulo são o dobro do primeiro. Portanto, os triângulos são semelhantes.

3ª Etapa: Critérios de semelhança de triângulos

Existem três critérios principais para verificar se dois triângulos são semelhantes.

Critério AA (Ângulo – Ângulo)

Se dois ângulos de um triângulo forem iguais aos dois ângulos de outro triângulo, então eles serão semelhantes.

Isso acontece porque, em um triângulo, conhecendo dois ângulos, o terceiro também ficará determinado.

Exemplo:

• Triângulo 1: ângulos de 40° e 80°;
• Triângulo 2: ângulos de 40° e 80°.

Os triângulos são semelhantes.

Critério LAL (Lado – Ângulo – Lado)

Dois triângulos serão semelhantes quando:

• possuírem um ângulo igual; e
• os lados que formam esse ângulo forem proporcionais.

Exemplo:

Como as razões são iguais e o ângulo entre esses lados também é igual, os triângulos são semelhantes.

Critério LLL (Lado – Lado – Lado)

Dois triângulos serão semelhantes quando os três pares de lados correspondentes forem proporcionais.

Exemplo:

Triângulo A:

• 3 cm
• 5 cm
• 7 cm

Triângulo B:

• 6 cm
• 10 cm
• 14 cm

Todos os lados dobraram de tamanho, então os triângulos são semelhantes.

4ª Etapa: Onde usamos semelhança no cotidiano?

A semelhança aparece em muitas situações reais:

• mapas e escalas;
• maquetes;
• plantas de casas;
• fotografias ampliadas;
• sombras;
• construção civil;
• desenho técnico.

5ª Etapa: Aplicando o conceito

Altura de uma árvore

Uma árvore produz uma sombra de 6 metros. Ao mesmo tempo, uma pessoa de 1,5 m produz uma sombra de 2 metros.

Qual é a altura da árvore?

Como os raios solares formam triângulos semelhantes, podemos montar a proporção:

Fazendo a multiplicação cruzada:

A árvore mede 4,5 metros.

6ª Etapa: Desafio - detetives da semelhança

Agora é sua vez de investigar!

Observe diferentes pares de triângulos e descubra:

• quais são semelhantes;
• qual critério foi utilizado;
• quais lados correspondem entre si.

Você pode fazer isso desenhando triângulos no caderno ou utilizando figuras recortadas.

Como analisar?

• Compare os ângulos.
• Verifique se os lados são proporcionais.
• Descubra qual critério de semelhança aparece.

7ª Etapa: Resumindo

Triângulos semelhantes:

• têm a mesma forma;
• possuem ângulos correspondentes iguais;
• apresentam lados proporcionais.

Critérios:

AA → dois ângulos iguais;

LAL → dois lados proporcionais e um ângulo igual;

LLL → três lados proporcionais.

Bons estudos!

Roteiro de estudos elaborado pela Professora Gabriela R. do Prado.

Revisão textual: Professora Daniela Leite Nunes.

Coordenação Pedagógica: Prof.ª Dr.ª Aline Bitencourt Monge.

Crédito da imagem: desifoto – Getty Images